Analysis I

Analysis I

Prof. Dr. Dirk Ferus

Wintersemester 2006/07

Version vom 10.04.2008

Inhaltsverzeichnis

0 Literatur 5

1 Die reellen Zahlen 7

1.1 Die K¨orperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Die Anordnungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Nat¨urliche Zahlen und vollst¨andige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Die komplexen Zahlen 21

3 Mengen und Abbildungen 24

4 Elementares ¨uber Funktionen 29

4.1 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Eine Buckelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4 Zwei wichtige Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Zahlenfolgen und Konvergenz 38

5.1 Konvergenz und Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2 Rechenregeln f¨ur konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3 Noch einmal Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.4 Konvergenz in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6 Stetigkeit 59

6.1 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.2 Drei bedeutende S¨atze ¨uber stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7 Differentiation 72

7.1 Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.2 Der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.3 Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.4 Hyperbelfunktionen, Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.5 Die...