Cost Function

Cost function

大學經濟學 - 從 Production function 到 Cost function

有同學問如何從 Production function 推導出 cost curve。

這是主修 econ 的同學 year 1 / year 2 會學到的課題。

我舉一個最簡單的 production function 例子：

Q = LK

Q = Output, L = Labour, K = Capital

將 Production function 重新調位，可以得出：

K=

Q

L

及

L=

Q

K

以下將會反覆使用這兩條式。

假設 Labour 的 cost 為 wages (w)，Capital 的 cost 為 rental price (r)。

總成本(Total cost) = wL + rK

這尚未是一條 cost function 因為 cost function 是描述總產出(Q)跟總成本的關係，

，

但這條公式之中並沒有總產出(Q)。

在 short run 的情況下，某種 factor 的數量是固定不變，這裡假設 Capital (K)的數

量固定為 K。

Q

將上面重新調位後的 production function (L = K)代入總成本的公式：

短期總成本(Short run total cost) = w

Q

+ rK

K

當中 w, K 都是 constant，我們便可以得知 output (Q)跟 total cost 的關係。

短期總變動成本(Short run total variable cost) = w

Q

K

短期總固定成本(Short run total fixed cost) = rK

MPL

w

在 long run 的情況，要達到 cost minimization 便需要達到MPK = r 的條件：

MPL = K

MPK = L

K

因此 L =

w

r

重新調位後可以得出

Outliers Economics

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Cost function

K=

wL

r

及

L=

rK

w

代入返一開始重新調位後的 production function (K =

rQ

w

L

Q

及 L = K)：

rK Q

=

w K

wL Q

=

r

L

L2 =

Q

K2 =

及

rQ

L = ( )0.5

w

wQ

r

wQ 0.5

K=( )

r

最後便可以拎到長期總成本：

長期總成本(Long run total cost) = wL + rK

r

w 0.5

= wQ0.5 ( )0.5 + rQ0.5 ( )

w

r

rQ 0.5

wQ 0.5

= w( ) + r ( )

w

r

0.5

= (rwQ) + (rwQ)0.5

= 2√rwQ

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